Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en un exponente. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la variable a despejar, comúnmente llamada x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación y logaritmación.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales, que vamos a resolver más adelante:

$2^{x + 1} = 16\,$

$2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,$

$4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,$

$\sqrt[3x + 1]{2^{x + 2}} = 8\,$

[editar] Formas de resolución

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

[editar] Igualación de bases

Sea la ecuación del ejemplo:

$2^{x + 1} = 16\,$

Es evidente que si el primer miembro sólo tiene un término, el término del segundo miembro es potencia del término del primer miembro. Entonces igualamos el segundo miembro, expresando su término como potencia del término del primer miembro:

$2^{x + 1} = 2^4\,$

Luego, por la siguiente propiedad: $a^x = a^y \Rightarrow x = y\,$ , tenemos: $x + 1 = 4\,$

[editar] Cambio de variables

Artículo principal: Cambio de variable

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

$2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,$

Vamos a escribirla así:

$2 \cdot (7^x) \cdot 7^2 + (7^x) = 33957$

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

$7^x = a\,$

Ahora, al reemplazar, se tiene:

$2a \cdot 49 + a = 33957\,$

Despejamos $a\,$ :

$99a = 33957\,$

$a = \frac{33957}{99}\,$

$a = 343\,$

Ahora, recordemos que $a = 7^x\,$ , luego:

$343 = 7^x\,$

$7^3 = 7^x\,$

$3 = x\,$

[editar] Aplicación de logaritmos

Artículo principal: Logaritmación

Sea la ecuación:

$4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,$

Por la propiedad del logagritmo de un producto, tenemos:

$Log_{2} (4^{x + 1} \cdot 8^x) = Log_{2} 4096$

$(x + 1) \cdot Log_{2} 4 + x \cdot Log_{2} 8 = Log_{2} 4096\,$

Operando:

$(x + 1) \cdot 2 + x \cdot 3 = 12\,$

$2x + 2 + 3x = 12\,$

$5x = 10\,$

De donde sale:

$x = 2\,$

[editar] Como resolver una ecuación exponencial

Por simple inspeccion, es decir se descompone la parte numerica en sus factores primos.

Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad.

Realizar correctamente las operaciones indicadas.

Comprobar resultado

[editar] Ecuaciones en las que la variable es el índice de una raíz

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación: